数学3　関数のグラフの描き方

次にするべきことは、特殊な点での関数の振る舞い、また原点から遠ざかって行く場合の漸近的な振る舞いなど、全体的な変化の様子を調べることです。もう一度対数関数のグラフを眺めて下さい。対数関数は、原点で－∞に発散します。したがって、f(x)もｘ＝±１で－∞に発散します。そしてx=0、およびx=±∞でどのような値になるかは微妙な問題で、ここで発散するのか、また有限の値にとどまるのかを、慎重に見極める必要があります。ここではロピタルの定理を使ってx=0の極限値を計算し、原点での値が有限値となることを確認しました。この計算は目視でできるでしょう。最後に、x=±∞の漸近値がゼロになることを見て、遠方で次第に減衰して行くことを確かめています。これで、関数のおおよその振る舞いが分かりました。

以上の考察は、確かに粗いものであり、極大値の位置やその値、また変曲点の位置などの詳細な情報は抜けています（今の場合、それを調べるには関数電卓などが必要になります）。ただ、例えば右半分ではx=1の負の発散点から立ち上がって√２で軸を横切るので、暫くは上昇を続けること、そして遠方ではゼロに落ち着くので、どこかで最大値を持って減衰し始めることは明らかです。それ以上の詳細な情報は、必要があるときにのみ、調べれば良いのです。

研究の現場でなくとも、数学の問題を解くうえで、全部を調べる必要がない場合は多いでしょう。皆さんも、そのような考察を時おり試みると、楽しめると思います。

x=±∞の漸近値がゼロになることは、再びロピタルの定理を使って確かめても良いのですが、一般に「対数関数は最弱の関数で、誰とケンカしても勝てない」と覚えておくと良いでしょう。遠方での発散の速度も、原点での発散の速度も、誰よりも遅いので、極限を取ると必ず競り負けます。逆に指数関数は、スペードのエースのような最強の関数です。